數量
利潤問題中最大值的求解-2025廣東公務員考試行測解題技巧
http://www.deepandtechno.com 2025-01-08 來源：永岸公考
利潤問題是數量關系中常見的一類題型，這類題目往往涉及的概念較多，例如成本、售價、利潤、利潤率、打折等基本概念。在解決利潤問題時最常用的方法是特值法和方程法。但是在利潤問題中有一類比較特殊的題目，就是求某些量的最大值，比如求最大利潤或最大售價等等。對于這樣的題目求解方法是比較固定了，現在我們一起來學習這個內容。
以下是利潤問題中一些常見的公式：
利潤=售價-成本；
利潤率=(利潤÷成本)×100%；
售價=(1+利潤率)×成本；
成本=售價÷(1+利潤率)；
打N折=(售價÷定價)×10。
【例1】某汽車坐墊加工廠生產一種汽車坐墊，每套的成本是144元，售價是200元。一個經銷商訂購了120套這種汽車坐墊，并提出：如果每套坐墊的售價每降低2元，就多訂購6套。按經銷商的要求，該加工廠獲得最大利潤需售出的套數是：
A.128
B.136
C.142
D.144
答案：D
【解析】由于經銷商提出售價下降和銷量增加之間有聯系，設售價降低2x元，則銷量增加6x件，此時的售價為：200-2x;銷量為120+6x。題目中求的是獲得最大利潤時銷售的套數，此時的利潤=單間的利潤×銷量。因此總利潤為：(200-2x-144)×(120+6x)=(56-2x)×(120+6x)。
這個列示展開后是一個二次函數，是開口向下的拋物線。題目求解的是這個列式取得最大值時產品的銷量，既120+6x的值。根據數學上的知識這個列式在頂點處取得最大值，當它取最大值時x=(x1+x2)÷2。x1、x2為列示等于0時的值。
因此讓56-2x=0，x1=28;120+6x=0，x2=-20。則x=(x1+x2)÷2=(28-20)÷2=4，代入120+6x=120+6×4=144，選D。
【例2】某商店以400元的價格購進一批音響，按480元的定價售出，每天可售出8臺，若每降價10元，每天能多售出4臺。問商店一天能取得的最大利潤為（ ）。
A.640
B.1000
C.1400
D.1940
答案：B
【解析】設降價10x元，則能多銷售4x臺。此時的售價為480-10x;銷量為8+4x。一天的利潤為：(480-10x-400)×(8+4x)=(80-10x)×(8+4x)。當80-10x=0，x1=8;8+4x =0，x2=-2。則x=(x1+x2)÷2=(8-2)÷2=3，代入(80-10x)×(8+4x)=(80-30)×(8+12)=1000，選B。
通過這兩道題目我們發現對于這樣的問題在求解的時候就是現根據題目要求列出一個式子，然后對于這個列式求極值。求極值的方法就是讓列示等于零，求出x1、x2的值，再用x=(x1+x2)÷2求出x的值，在題目中大家一定要注意題目最終求解的是哪個量，結合題干選項選出對應答案就可以啦。
